handouts(3) - heat transfer
导热数值解法基础
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导热数值解法的思想（简答题常考）
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将时间上和空间上连续的物理量用离散的点的集合来代替
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将微分和微商用差分和差商代替
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按照一定的方法（泰勒展开，控制容积）去建立节点（离散方程）
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用一定的方法去解结点方程
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导热数值解法的优势（为什么用数值解不用解析解）
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物体的几何条件复杂（分析法解不出来）
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物体的传热过程复杂，比如说含相变过程（分析法可能解不出来）
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物体的物性参数不是常数，比如说是温度的函数（分析法可能解不出来）
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物体边界条件复杂，比如说边界条件是对流传热和辐射的复合形式（分析法可能解不出来）
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建立离散方程的两大方法（不列方程）
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泰勒级数法（高等数学和考研数学的内容，具体见泰勒展开）
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控制容积法（列方程都是用控制容积法，因为控制容积法适用范围更加广，物理意义更加清晰）
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非稳态导热的数值解中比稳态导热中多了一个非稳态项，扩散项的离散写法两者是一致的
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时间项（非稳态项）向前差分$\frac{\partial t}{\partial \tau}|_{i,k}=\frac{t^{k+1}-t^{k}}{\triangle \tau}$
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时间项（非稳态项）向后差分$\frac{\partial t}{\partial \tau}|_{i,k}=\frac{t^k - t^{k-1}}{\triangle \tau}$
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白话：向前差分就是想求$k$ 时刻的温度，我用未来时刻的温度来差分；向后差分就是用过去时刻的温度来差分
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时间项不可以用中心差分（这个在泰勒展开中有详细解释，具体可以参考建工传热学对应教材），因为会导致不稳定的结果
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（简答题）向前差分又称显式格式（pros计算简单，不需要知道当前$k$ 时刻的所有节点温度，但是也可以知道目标节点$k+1$ 时刻的温度），cons步长的选择会存在限制（后面会进一步解释）
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（简答题）向后差分又称隐式格式（pros步长选择没有限制，但是计算会比较复杂，需要知道$k$ 时刻所有节点的温度，才能求出$k+1$ 时刻目标节点的温度）
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步长可以分为距离步长和时间步长，时间步长仅仅出现在非稳态的数值数值计算中
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向前差分的步长限制（一维内部节点）：$Fo\leqslant \frac{1}{2}$
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向前差分的步长限制（二维内部节点）：$Fo\leqslant \frac{1}{4}$
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根据上面你可以推到出来三维内部节点的步长限制
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向前差分的步长限制（一维边界节点）：$Fo\leqslant \frac{1}{2Bi+2}$
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向前差分的步长限制（二维边界节点）：$Fo\leqslant \frac{1}{2Bi+4}$
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相信你能看出规律，推出三维边界节点的步长限制条件
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有步长限制的主要原因是，如果在数值解中步长不满足限制条件，计算出来的结果可能会离谱，违背热力学第二定律
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